等和数列

　　定义

　　“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

　　对一个数列，如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列

　　性质

　　必定是循环数列

　　证明：对任意正整数n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k，　所以对任意正整数n，an = an+k，如果这个数列有n+k项的话。

　　练习

　　1、下面一列整数中(每个字母或括号都代表一个整数)，任意相临的3个整数的和都是20，则x+y+z=? x，2，()，()，()，4，()，y，()，()，z

　　2.(2004年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第2试第三题) 圆周上放着120个正数(不一定是整数)，今知其中任何相连的35个数的和都是200.证明：这些数中的每一个数都不超过30.(旁注：题目中“相连”即“相临”之意) 答案： 第1题 ：　x=14,y=2,z=2 ，　故：　x+y+z=18 ;　第2题 ：　(120,35)=5 ，使5个数为一组，每7组的和是200，那么每组有 200/7<30 所以每一个数都不超过30。列的通项求法

　　一般有

　　an=Sn-Sn-1 (n≥2)

　　累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an )。

　　累乘法

　　逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)。

　　化归法(将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)。

　　特殊数列的通项的写法

　　1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n

　　1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n

　　2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n

　　1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1

　　-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n

　　1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)

　　1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2

　　1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2 　　 9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1

　　1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9

　　衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[(10^n)-1]*n/9,n为1-9的整数

　　1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2

　　1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)

　　前N项和公式的求法

　　(一)1.等差数列：

　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1，公差d, an第n项数

　　ak=ak+(n-k)d ak为第k项数

　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2

　　2.等差数列前n项和:

　　设等差数列的前n项和为Sn

　　即 Sn=a1+a2+...+an;

　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2

　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n

　　还有以下的求和方法： 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法

　　(二)1.等比数列:

　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项，an为第n项

　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)

　　则an/am=q^(n-m)

　　(1)an=am*q^(n-m)

　　(2)a,G,b 若构成等比中项，则G^2=ab (a,b,G不等于0)

　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq

　　2.等比数列前n项和

　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列

　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an

　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式，但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去，所以希望这个公式也要理解) 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);

　　注： q不等于1;

　　Sn=na1 注:q=1

　　求和一般有以下5个方法： 1,完全归纳法(即数学归纳法) 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法