等差数列

　　定义

　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前N项和用Sn表示。

　　缩写

　　等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。

　　等差中项

　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。

　　有关系：A=(a+b)/2

　　通项公式

　　an=a1+(n-1)d

　　a1=S1(n=1)时

　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)时

　　an=kn+b(k,b为常数)

　　前n项和

　　倒序相加法推导前n项和公式：

　　Sn=a1+a2+a3······+an

　　=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

　　Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

　　由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

　　固 Sn=n(a1+an)/2

　　等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2

　　Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n

　　性质

　　且任意两项am，an的关系为：

　　an=am+(n-m)d

　　它可以看作等差数列广义的通项公式。

　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

　　am+an=ap+aq

　　S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)(an+1)

　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。

　　前n项和=(首项+末项)×项数÷2

　　项数=(末项-首项)÷公差+1

　　首项=2×前n和÷项数-末项

　　末项=2×前n和÷项数-首项

　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。

　　应用

　　日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

　　若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。

　　其于数学的中的应用，可举例：

　　快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个

　　算法不止一种，这里介绍用数列算

　　令等差数列首项a1=24(24为6的4倍)，等差d=6,;

　　于是令an = 24+(n-1)*6<=132即可解出n=19