整数的性质及应用

　　整数的整除性

　　整除的概念及其性质

　　如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

　　定义：设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。

　　整数整除性的一些数码特征(即常见结论)

　　(1)若一个整数的末位数字能被2(或5)整除，则这个数能被2(或5)整除，否则不能;

　　(2)一个整数的数码之和能被3(或9)整除，则这个数能被3(或9)整除，否则不能;

　　(3)若一个整数的末两位数字能被4(或25)整除，则这个数能被4(或25)整除，否则不能;

　　(4)若一个整数的末三位数字能被8(或125)整除，则这个数能被8(或125)整除，否则不能;

　　(5)若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。

　　整数的奇偶性

　　(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数;

　　(2)奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或(8m+4)的形式;

　　(3)若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

　　完全平方数

　　完全平方数及其性质

　　能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：

　　(1)平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9;

　　(2)偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;

　　(3)奇数平方的十位数字是偶数;

　　(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;

　　(5)不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7;

　　(6)平方数的约数的个数为奇数;

　　(7)任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

　　(8)设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂(k≥2)，若(a,b)=1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂(k≥2)，若a,b,c……两两互素，则a,b,c……都是正整数的k次方幂。